Question

设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．
（Ⅰ）设g（x）=f'（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试研究函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数．

Answer

（I）首先，g（x）的定义域是（0，+∞），再根据求导法则得g（x）=f'（x）=+lnx，分别讨论当a≤0时和当a＞0时g（x）零点的两种不同情况，得到g（x）的单调区间的两种情形；
（II）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，求出g（a）的值，由a≥可以证得g（a）≥0，从而f'（x）≥0．得到f（x）在（0，+∞）上单调递增，再由根的存在性定理可以证得函数f（x）在（0，+∞）上存在零点，结合单调性可得函数的零点个数为1．
【解析】
（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）=+lnx，
∴g'（x）=-，…（2分）
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故g（x）单调区间是（0，+∞）…（4分）
（2）当a＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上单调递增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）=+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥，∴lna≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（11分）
∵f（e）=（e+a）lne-e+a=2a＞0，＜0，，
∴内有零点．…（13分）
故函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数为1．…（14分）