设出两曲线的交点A的坐标,代入两曲线解析式,分别记作①和②,由曲线C1的解析式,求出导函数,把点A的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为曲线C1在A处的切线的斜率,进而表示出C1在A处的切线方程,由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,得到求出的切线方程过曲线C2的圆心(0,0),把圆心坐标代入切线方程得到一个关系式,记作③,联立①②③,即可求出a的值.
【解析】
设点A的坐标为(x,y),代入两曲线方程得:
y=ax3+1①,x2+y2=②,
由曲线C1:y=ax3+1得:y′=3ax2,
则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax2,
所以C1在A处的切线方程为:y=3ax2(x-x)+y,
由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,
得到切线方程y=3ax2(x-x)+y过圆C2的圆心(0,0),
则有3ax2(0-x)+y=0,即y=3ax3③,
把③代入①得:a=④,④代入③得:y=⑤,⑤代入②得:x=±,
当x=时,代入④得:a=4;当x=-时,代入④得:a=-4(由a>0,不合题意,舍去).
则实数a的值为4.
故答案为4.