Question

如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．
（1）求证：AP是圆O的切线；
（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．

Answer

（1）由题意可知AE⊥BC且BE=CE，得出AE经过圆心O，只要证明AP⊥AE即可；
（2）可通过△APO∽△EBO及勾股定理求出AP的长．
证明：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，
∵AB=AC，
∴AE平分BC，
∴点O在AE上．（2分）
又∵AP∥BC，
∴AE⊥AP，
∴AP为圆O的切线．（4分）
【解析】
（2）∵BE=BC=4，
∴，
又∵∠AOP=∠BOE，∠P=∠OBE
∴△OBE∽△OPA，（6分）
∴．
即 ．
∴．（8分）