Question

已知F₁，F₂分别为椭圆E：的左、右焦点，椭圆的离心率，过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF₂的周长为8
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据三角形的周长和椭圆的定义求得a，进而根据离心率求得c，则b可求，椭圆的方程可得．
（2））①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立根据判别式大于0求得k和t的不等式关系，利用伟大定理表示出x1+x2和x1x2，进而表示出，根据OA⊥OB推断=0求得k和t的关系式，继而根据为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，求得圆的半径，圆的方程可得．
②当切线的斜率不存在时，则可求得切线方程与椭圆方程联立求得交点，进而判定存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．
【解析】
（1）据题意，∵△MNF2的周长为8，故4a=8，∴a=2
又．
（2）①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．
解方程组，
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，
则使△64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0
即，，
要使，
所以5t2-4k2-4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，即4k2+4＜20k2+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=
②当切线的斜率不存在时，
切线为满足．
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．