Question

已知，函数，x∈[0，2]
（1）当a=1时，求f（x）在点（3，6）处的切线方程；
（2）求g（x）的值域；
（3）设a＞0，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x∈[0，2]，使g（x₁）-f（x）=0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将a=1代入求出函数f（x）的解析式，然后求导数，根据k=f'（3）=8，过点（3，6），可得到切线方程．
（2）先求出g（0）=0，然后当x≠0时，对g（x）分子分母同时除以x构成，再由基本不等式可求出g（x）的范围，进而确定函数g（x）的值域．
（3）先可以确定函数g（x）的值域是函数f（x）的值域的子集，转化为求函数f（x）在[0，2]上的值域的问题．对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导数判断函数在[0，2]上的单调性，可表示出函数在[0，2]上的值域，再由函数g（x）的值域是函数f（x）的值域的子集可得到答案．
【解析】
（1）当a=1时，，
∴f'（x）=x2-1，f'（3）=8
∴切线方程为y-6=8（x-3），即8x-y-18=0
（2）
x=0时g（x）=0，0＜x≤2时，，
且g（x）＞0，当且仅当x=1时上式取等号即，
综上，g（x）的值域为．

（3）设函数f（x）在[0，2]上的值域是A，若对任意x1∈[0，2]．
总存在x∈[0，2]，使g（x1）-f（x）=0，∴[0，]⊆A
由得，x∈（0，2）
令f'（x）=0，得x=或x=-（舍去）
（i）时，x，f'（x），f（x）的变化如下表：

∴．∴，解得
（ii）当时，f'（x）＜0∴函数f（x）在（0，2）上单调递减．
∵，∴当x∈[0，2]时，不满足[0，]⊆A
综上可知，实数a的取值范围是[，1]．