Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，．

Answer

（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．，所以数列是公差为1的等差数列．由此可知an=（n+1）•2n．
（2）由题意知==．然后再证明证．
【解析】
（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是，所以数列是公差为1的等差数列．（5分）
又S1=2a1-22，所以a1=4．
所以，故an=（n+1）•2n．（6分）
（2）因为，则当n≥2时，==．（9分）

下面证
令，则，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，
令，，，
，，，
以上n个式相加，即有
∴（14分）