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已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥...

已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥面ABCD.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)在PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD.

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(1)证明:连接AF,要证PF⊥FD,只要证FD⊥平面PAF,只要证PA⊥FD,AF⊥FD即可.. (2)取AD中点I,取AI中点H,连接BI,EH,EG,GH,易知四边形BFDI是平行四边形,所以BI∥FD,再由E、H分别是AB、AI的中点,得到EH∥BI,由公理4可得EH∥FD,所以EH∥平面PFD,由,所以GH∥PD,有HG∥平面PFD,转化为平面EHG∥平面PFD 得到EG∥平面PFD. 【解析】 (1)证明:连接AF, ∵在矩形ABCD中,AD=4,AB=2,F是线段BC的中点, ∴FC=CD,∴△FCD是等腰直角三角形, ∴∠DFC=45°,同理可得∠AFB=45°, ∴AF⊥FD. 又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD,∵AF∩PA=A ∴FD⊥平面PAF,∴PF⊥FD.(6分) (2)在AP上存在点G, 且,使得EG∥平面PFD, 证明:取AD中点I,取AI中点H,连接BI,EH,EG,GH, ∵,∴四边形BFDI是平行四边形, ∴BI∥FD 又∵E、H分别是AB、AI的中点, ∴EH∥BI,∴EH∥FD 而EH⊄平面PFD,∴EH∥平面PFD∵, ∴GH∥PD 而GH⊄平面PFD, ∴HG∥平面PFD 又∵EH∩GH=H ∴平面EHG∥平面PFD ∴EG∥平面PFD 从而G为所求.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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