Question

设{a_n}（n∈N^*）为等差数列，则使|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010成立的数列{a_n}的项数n的最大值是    ．

Answer

根据等差数列|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010，可得数列{an}中 的有正有负，不妨设，根据题意可得d＞3，根据|a1|+|a2|+…+|an|=2010，去绝对值求和，即可求得结果．
【解析】
{an}（n∈N*）为等差数列，因为|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|，
∴{an}中的项一定满足或，
且项数n为偶数，设n=2k，k∈N*，等差数列的公差为d，首项为a1，不妨设，
则a1＜0，d＞0，且ak+3＜0，由可得d＞3，
∴|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+ak+2+…+a2k=-2（a1+a2+…+ak）+（a1+a2+…+ak+ak+1+ak+2+…+a2k）
=-2[ka1+d]+2ka1+d=k2d=2010，
∵d＞3，
∴k2d=2010＞3k2，解得k2＜670，而k∈N*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是50．
故答案为：50．