Question

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a+1）²，n∈N^*．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由题设知，a1=1，，所以4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），由此能求出an=2n-1．
（2）由=，利用裂项求和法能求出Tn的值．
【解析】
（1）∵4Sn=（a+1）2，n∈N*，∴…①
当n=1时，，∴a1=1．
当n≥2时，…②
①、②式相减得：
4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），
∴2（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∴an-an-1=2，
综上得an=2n-1．（6分）
（2）
=，
∴Tn=
=．（12分）