Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量平移到直线l，N为l上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求的最小值．

Answer

（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；
（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐标运算，求得
的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．
【解析】
（1）由条件知，则，消
去y得：，则x1+x2=3p，
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x．
（2）直线l的方程为：，于是设，A（x1，y1），B（x2，y2）
则
即
由第（1）问的解答结合直线方程，不难得出
且y1+y2=x1+x2-p=2p，
则
当时，的最小值为