Question

已知F₁，F₂是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，且•=0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当•=λ，且满足≤λ≤时，求弦长|AB|的取值范围．

Answer

（1）依题意，易得PF1⊥F1F2，进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得+=1，a2=b2+c2，联立解可得a2、b2、c2的值，即可得答案；
（2）根据题意，直线l与⊙x2+y2=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即=1，变形为m2=k2+1，联立椭圆与直线的方程，即，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，设由直线l与椭圆交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，解可得k≠0，可得x1+x2=-，x1•x2=-，进而将其代入y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）可得y1•y2关于k的表达式，又由=x1•x2+y1•y2==，结合题意≤λ≤，解可得≤k2≤1，根据弦长公式可得|AB|=2，设u=k4+k2（≤k2≤1），则≤u≤2，将|AB|用u表示出来，由u[，2]分析易得答案．
【解析】
（1）依题意，由•=0，可得PF1⊥F1F2，
∴c=1，
将点p坐标代入椭圆方程可得+=1，又由a2=b2+c2，
解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的方程为+y2=1．
（2）直线l：y=kx+m与⊙x2+y2=1相切，则=1，即m2=k2+1，
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=（4km）2-4×（1+2k2）（2m2-2）＞0，化简可得2k2＞1+m2，
x1+x2=-，x1•x2=-，
y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2==，
=x1•x2+y1•y2==，
≤≤，解可得≤k2≤1，（9分）
|AB|==2
设u=k4+k2（≤k2≤1），
则≤u≤2，|AB|=2=2，u[，2]
分析易得，≤|AB|≤．（13分）