Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

Answer

（Ⅰ）用勾股定理证明AP⊥PD，由 SA⊥底面ABCD，可得SA⊥PD，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）设Q为AD的中点，过Q作QR⊥SD，由三垂线定理可知，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．由三角形相似求得SD，从而求得QR，利用 求出结果．
证明：（Ⅰ）因为SA⊥底面ABCD，所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，
又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以AP⊥PD．
因为 SA⊥底面ABCD，PD⊂平面ABCD，所以，SA⊥PD，
由于SA∩AP=A，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）设Q为AD的中点，连接PQ，由于SA⊥底面ABCD，且SA⊂平面SAD，
则平SAD⊥平面PAD．因为PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD，过Q作QR⊥SD，垂足为R，连接PR，
由三垂线定理可知PR⊥SD，所以，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易证明△DRQ∽△DAS，则因为DQ=1，SA=1，，
所以．（10分）在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，
所以所以二面角A-SD-P的大小的正切值为．