Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB．
（2）求二面角B-AP-C的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取AB中点D，利用等腰三角形的性质可得PD⊥AB，CD⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PCD，从而得到
 PC⊥AB．
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PAC，取AP中点E，可证∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，利用
 sin∠BEC= 求出结果．

【解析】
（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵CA=CB，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．
（Ⅱ）∵AC=BC，PA=PAB，∴△APC≌△BPC，又 PC⊥AC，∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即 AC⊥BC，且 AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E，连接BE，CE．∵BA=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE==，∴sin∠BEC==．
∴二面角B-AP-C的正弦值为．