Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=mx³+f′（x）-3x在（2，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）本题的解析式中有两个参数，故需要两个方程，由图象过定点P可以得到一个方程，另一个由点P处的切线与直线x-3y=0垂直可以得到切线的斜率，得到另一个方程，由此两方程联立即可得到两个参数的值．
（2）求解本题中的参数取值范围需要先求出g（x）的解析式，然后求出其导数，由于函数在（2，+∞）上是减函数，故在这个区间上导数值应小于等于0，由此关系得到参数m的不等式，解之即得．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+2bx
∴由题意有∴
∴f（x）=x3+3x2
（2）∵g′（x）=3mx2+2x-1，
∴依据题意：当x∈（2，+∞）时，3mx2+2x-1≤0恒成立；
即：在x∈（2，+∞）时恒成立；令，
易求得在x∈（2，+∞）的最小值为
∴