Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成角为，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）证明：点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）求二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）求点A₁到平面CB₁A的距离．

Answer

（1）过B1点作B1O⊥BA，由面面垂直的性质，可得A1O⊥面ABC，即O为点B1在平面ABC上的射影，进而∠B1BA是侧棱BB1与底面ABC的夹角，由已知中侧棱BB1与底面ABC所成角为，解Rt△BOB1，易得O是AB的中点．
（2）连接AB1，过点O作OM⊥AB1，连接CM，OC，可证得∠OMC是二面角C-AB1-B的平面角，解Rt△OMC，即可求出二面角C-AB1-B的正切值；
（3）方法一：过点O作ON⊥CM，可证得ON⊥面ACB1，即ON的长度是O点到平面ACB1DE距离，连接BA1与B1A交于H，则H是BA1的中点，即B与A1到平面ACB1的距离相等，结合（1）的结论，求出B到平面ACB1的距离，即可得到答案．
（3）方法二：根据，分别求出三棱锥的体积和三角形ACB1的面积，即可得到答案．
证明：（1）过B1点作B1O⊥BA．
∵侧面ABB1A⊥底面ABC，∴A1O⊥面ABC
∴∠B1BA是侧棱BB1与底面ABC的夹角；
∴∠B1BO=60°；在Rt△BOB1中，BB1=2，∴BO=BB1=1
又∵BB1=AB，∴OB=AB，∴O是AB的中点
即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点；
【解析】
（2）连接AB1，过点O作OM⊥AB1，连接CM，OC
∵OC⊥AB，平面ABC⊥面AA1BB1，
∴OM⊥AB1
∴AB1⊥CM，∴∠OMC是二面角C-AB1-B的平面角；
在Rt△OCM中，OC=，OM=，∴tan∠OMC=2
∴二面角C-AB1-B的正切值为2；
（3）方法一：
过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON；
∴ON⊥面ACB1，∴ON的长度是O点到平面ACB1DE距离；
在Rt△OMC中，OC=，OM=，∴CM=
∴ON=
连接BA1与B1A交于H，则H是BA1的中点；
∴B与A1到平面ACB1的距离相等；
又∵O是AB的中点，∴B到平面AB1C的距离是O到平面AB1C距离的2倍；
故A1到平面AB1C的距离为
方法二：（体积法）
⇒
又在△ACB1中，AC=AB1=2，B1C=⇒
∴，
∴A1到平面AB1C的距离为