Question

直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（8，0），动点M（x，y）满足•=x²，
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过定点F（2，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值；
（3）定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足K_PA•K_PB=8试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由．

Answer

（1）由题意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x2，由此能导出点M的轨迹方程；
（2）由题设条件知直线l1，l2的斜率都存在，且不为0，设MN的方程为y=k（x-2），与y2=8x联立，得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义知：，RQ的方程为，由此能求出四边形MRNQ面积的最小值．
（3）设A（），B，（y1≠y2），则，，y1y2+4（y1+y2）+8=0，由此知，直线AB过定点（1，-4）．
【解析】
（1）由题意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x2，
∴y2=8x为点M的轨迹方程；
（2）由题设条件知直线l1，l2的斜率都存在，且不为0，
设MN的方程为y=k（x-2），与y2=8x联立，得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴，
由抛物线定义知：，
同理，RQ的方程为，
∴
=32，
当且仅当k2=1，k=±1时，取“=”号，故四边形MRNQ面积的最小值为128．
（3）设A（），B，（y1≠y2），
则，
∴，
∴y1y2+4（y1+y2）+8=0…①
，
∴，
∴y1y2-（y1+y2）y+8x=0，
与①比较知，直线AB过定点（1，-4）．