Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）由方程ax2+bx-2x=0有等根，则△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-=1，得a，从而求得f（x）．
（2）由f（x）=-（x-1）2+1≤1，知4n≤1，即n≤．由对称轴为x=1，知当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．所以有，最后看是否满足m＜n≤即可．
【解析】
（1）∵方程ax2+bx-2x=0有等根，∴△=（b-2）2=0，得b=2．
由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-=1，得a=-1，故f（x）=-x2+2x．
（2）∵f（x）=-（x-1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤．
而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则
即⇒又m＜n≤．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．