Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．
当时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．
解些不等式，得．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是．
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a2-64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当，即，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．