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如图,M、N、P分别是正方体的棱AB、BC、DD1上的点. (1)若,求证:无论...

如图,M、N、P分别是正方体的棱AB、BC、DD1上的点.
(1)若manfen5.com 满分网,求证:无论点P在D1D上如何移动,总有BP⊥MN;
(2)若D1P:PD=1:2,且PB⊥平面B1MN,求二面角M-B1N-B的大小.

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(1))证法一:连AC、BD,则BD⊥AC,通过,证明MN⊥平面BDD1.总有MN⊥BP. 证法二:连接AC、BD,则AC⊥BD.利用,证明MN⊥PB.可得总有BP⊥MN; (2)解法一:过P作PG⊥C1C交CC1于G,连BG交B1N于O1,说明∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角,利用△MO1B求解即可. 解法二:设BD与MN相交于F,连接B1F,设二面角B-B1N-M的平面角为α,则cosα=,求解即可. 【解析】 (1)证法一:连AC、BD,则BD⊥AC, ∵,∴MN∥AC,∴BD⊥MN. 又∵DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥MN, ∴MN⊥平面BDD1. ∵无论点P在DD1上如何移动,总有BP⊂平面BDD1, 故总有MN⊥BP. 证法二:连接AC、BD,则AC⊥BD. ∵,∴MN∥AC,∴MN⊥BD,又PD⊥平面ABCD, 由三垂线定理得:MN⊥PB. (2)解法一:过P作PG⊥C1C交CC1于G,连BG交B1N于O1, ∵PB⊥平面B1MN,∴PB⊥B1N. 又∵PG⊥平面B1BCC1,∴BG⊥B1N,∴△BB1N≌△BCG,∴BN=CG,NC=GC1, ∴BN:NC=DP:PD1=2:1. 同理BM:MA=DP:PD1=2:1. 设AB=3a,则BN=2a,∴, =, 连MO1,∵AB⊥平面B1BCC1,∴MO1⊥B1N, ∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角, , ∴. 解法二:设BD与MN相交于F,连接B1F, ∵PB⊥平面MNB1,∴PB⊥B1F,PB⊥MN, ∴在对角面BB1D1D内,△PBD∽△BB1F, 设BB1=DD1=3,则PD=2,BD=3,∴,即,故BF=. ∵MN⊥PB,由三垂线定理得MN⊥BD,MN∥AC,MN=2BF=2,BN=2, . 设二面角B-B1N-M的平面角为α,则cosα====, .
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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