Question

如图，M、N、P分别是正方体的棱AB、BC、DD₁上的点．
（1）若，求证：无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN；
（2）若D₁P：PD=1：2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M-B₁N-B的大小．

Answer

（1））证法一：连AC、BD，则BD⊥AC，通过，证明MN⊥平面BDD1．总有MN⊥BP．
证法二：连接AC、BD，则AC⊥BD．利用，证明MN⊥PB．可得总有BP⊥MN；
（2）解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1，说明∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角，利用△MO1B求解即可．
解法二：设BD与MN相交于F，连接B1F，设二面角B-B1N-M的平面角为α，则cosα=，求解即可．
【解析】
（1）证法一：连AC、BD，则BD⊥AC，
∵，∴MN∥AC，∴BD⊥MN．
又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN，
∴MN⊥平面BDD1．
∵无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，
故总有MN⊥BP．
证法二：连接AC、BD，则AC⊥BD．
∵，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD，
由三垂线定理得：MN⊥PB．
（2）解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1，
∵PB⊥平面B1MN，∴PB⊥B1N．
又∵PG⊥平面B1BCC1，∴BG⊥B1N，∴△BB1N≌△BCG，∴BN=CG，NC=GC1，
∴BN：NC=DP：PD1=2：1．
同理BM：MA=DP：PD1=2：1．
设AB=3a，则BN=2a，∴，
=，
连MO1，∵AB⊥平面B1BCC1，∴MO1⊥B1N，
∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角，
，
∴．
解法二：设BD与MN相交于F，连接B1F，
∵PB⊥平面MNB1，∴PB⊥B1F，PB⊥MN，
∴在对角面BB1D1D内，△PBD∽△BB1F，
设BB1=DD1=3，则PD=2，BD=3，∴，即，故BF=．
∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN∥AC，MN=2BF=2，BN=2，
．
设二面角B-B1N-M的平面角为α，则cosα====，
．