Question

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=a_n+（）ⁿ⁺¹（n∈N^*），数列{b_n}对任何n∈N^*都有b_n=a_n+1-a_n
（1）求证{b_n}为等比数列；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（1）求证{bn}为等比数列，可由等比数列的定义进行证明，由题设条件bn=an+1-an，结合a1=，an+1=an+（）n+1（n∈N*），研究{bn}相邻两项的关系，再由定义得出结论．
（2）由（1），求出{bn}的首项，写出等比数列的通项公式；
（3）先由bn=an+1-an，得到数列{an}的递推关系，结合an+1=an+（）n+1（n∈N*），求出数列{an}的通项公式，再求出前n项和，求极限即可．
证明：（1）=-[]=（）=bn
若bn=0，则，可得出=，解得an=
∴a1=，不满足条件，故=，即数列{bn}是等比数列；
（2），∴
（3）=，又
∴-=，∴an=-
Sn=3[]-[]
=3×-2×
=-3×+2
∴Sn=2