Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图．
（I）写出数列{a_n}的一个递推关系式；
（II）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（III）证明是等差数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer

（I） 由程序框图可直接得到a n+2=4 an+1-4an
（Ⅱ）将a n+2=4 an+1-4an移向变形得出an+1-2an =2（a n+1-2an），从而可证{an+1-2an}是等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出an+1-2an=-2 n-1 两边同除以2n+1变形构造出=，从而可解决．
【解析】
（I） 由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式
a1=1，a2=1，a n+2=4 an+1-4an
（II）由an+1-2an =2（a n+1-2an），且a2-2a1=-1
∴数列{an+1-2an}是以-1为首项，2为公比的等比数列
（III） 由（II）有an+1-2an=-2 n-1
∴=，又=
∴l数列是以为首项，以为公差的等差数列
∴，
∴an=