Question

已知某几何体的三视图如图所示，其中P'，P''，P''分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影，A'，B'，C'，D'分别是另四个顶点A，B，C，D的投影．
（I）从①②两个图中选择出该几何体的直观图；
（II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（III）设平面PAD与平面ABC的交线为l，求二面角A-l-B的大小．

Answer

（I）观察三视图及两个直观图，易知该几何体对应的直观图是①；
（II）由直观图知，此几何体中有同一点出发的三条两两垂直的射线，故可建立如图的空间坐标系，利用空间向量求线面角，由图知，平面平面PBC的一个法向量易知，求出直线PA的方向向量，由公式计算线面角即可；
（III）由（II）中的空间坐标系，平面PBC的一个法向量已知，设为平面PAD的一个法向量求出，再由公式求出两个二面角的夹角；
【解析】
（I）由三视图知此几何体是一个四棱锥，且侧面PBC⊥底面ABCD，考察两个直观图，图①符合实物图的特征，故①为该几何体的直观图；
（II）依题意，平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABC=BC，取BC中点O连接PO，则PO⊥BC，PO⊥底面ABCD，取AD中点M，则OM⊥BC，如图建立空间坐标系O-XYZ，P（0，0，2），A（2，1，0），
又平面PBC的一个法向量为，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．…9 分
（Ⅲ）∵D（2，-1，0），，
设为平面PAD的一个法向量，则，取

∴二面角A-l-B的大小为45°．…13分