Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD=DC=mAB，BC⊥PC．
（1）当时，求证：PA⊥BC；
（2）当时，试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．

Answer

（1）欲证PA⊥BC，可将PA放在面PAC内，证明BC⊥平面PAC即可，连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，满足线面垂直的判定定理；
（2）欲证CM∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CM与平面PAD内一直线平行即可，当M为PB中点时取AP中点为F，连接CM，FM，DF，CM∥DF，DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，满足定理条件．
证明：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，
当时，
AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．
所以∠ACD=∠ACE=45°
因为AE=CD=AB，所以BE=AE=CE
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．（7分）
【解析】
（2）当时，M点满足，CM∥平面PAD，（8分）
证明：取AP的三等分点F，连接CM，FM，DF．则FM∥AB，FM=AB，
因为CD∥AB，CD=AB，所以FM∥CD，FM=CD．（10分）
所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，（11分）
因为DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，所以，CM∥平面PAD．（13分）