Question

已知数列{a_n}满足：（n∈N^*，a∈R，a为常数），
数列{b_n}中，．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：数列{b_n}为等差数列；
（3）求证：数列{b_n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．

Answer

（1）由已知，得，，．
（2），由此能推导出bn+1-bn=1，又b1=a3=a，所以数列{bn}是等差数列．
（3）由bn=a+n-1，知若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，则（a+i）2=（a+j）
（a+k），得a（i+k-2j）=j2-ik，由此讨论知a是有理数．
【解析】
（1）由已知，得，，．（4分）
（2），
∴bn+1-bn=1，又b1=a3=a，
∴数列{bn}是首项为a，公差为1的等差数列．（9分）

（3）证明：由（2）知bn=a+n-1，（10分）
若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，
i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，则（a+j）2=（a+i）（a+k），
得a（i+k-2j）=j2-ik，（12分）
若i+k-2j=0，则j2-ik=0，得i=j=k，这与i＜j＜k矛盾．（14分）
若i+k-2j≠0，则，
∵i、j、k为非负整数，
∴a是有理数．（16分）