Question

在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除且奇偶数字相间的数共有（ ）
A．120个
B．108
C．20
D．12

Answer

由于要能被5整除，故可利用分类计数原理将任务分为三类：第一类，末位为0且奇偶数字相间的四位数；第二类，末位为5，其中没有0的奇偶数字相间的四位数；第三类：末位为5，其中有0的奇偶数字相间的四位数，最后将三类的方法数求和即可．在每类中计数时，可利用分步计数原理，第一步，选出恰当个数的奇数，因为此四位数中一定有两个奇数，两个偶数；第二步，选出恰当个数的偶数，第三步，按要求排成四位数，将每步的方法数相乘即可
【解析】
利用分类计数原理：
第一类：末位为0且奇偶数字相间的四位数
    第一步，选两个奇数共有C32种选法，第二步，选一个偶数共有C21种选法；第三步，由于奇偶相间，故偶数位置确定，排两个奇数共有A22种排法
∴末位为0且奇偶数字相间的四位数共有C32×C21×A22=3×2×2=12个
第二类：末位为5，其中没有0的奇偶数字相间的四位数
     第一步，选一个奇数共有C21种选法，第二步，选两个偶数共有C22种选法；第三步，由于奇偶相间，故奇数位置确定，排两个偶数共有A22种排法
∴末位为5，其中没有0，且奇偶数字相间的四位数共有C21×C22×A22=2×1×2=4个
第三类：末位为5，其中有0的奇偶数字相间的四位数
      第一步，选一个奇数共有C21种选法，第二步，选一个偶数共有C21种选法；第三步，将0安排在非首位的位置共有1个位置可选，第四步，安排其他两个数共有1种排法
∴末位为5，其中有0，且奇偶数字相同的四位数共有C21×C21×1×1=2×2×1×1=4个
∴综上所述，由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除且奇偶数字相间的数共有12+4+4=20
故选 C