Question

已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0且x≠1时，（x-1）f'（x）＞0，又f（1）=2．则f（x）（ ）
A．在x＜0时有最小值-2
B．在x＜0时有最大值-2
C．在x≥0时有最小值2
D．在x≥0时有最大值2

Answer

首先根据当x＞0且x≠1时，（x-1）f'（x）＞0，讨论得到f（x）在区间（0，1）上是减函且在区间（1，+∞）上是增函数．然后得到当x＞0时，f（x）≥f（1）=2恒成立，可得当x＜0时，f（-x）≥2恒成立，最后用函数为奇函数的性质，推得在x＜0时有最大值为f（-1）=-2，得到正确选项．
【解析】
∵（x-1）f'（x）＞0，
∴当x＞1时，有f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（0，1）上是减函数；在区间（1，+∞）上是增函数
因此，当x＞0时，函f（x）的最小值f（1）=2，
即当x＞0时，f（x）≥2恒成立，
∴当x＜0时，f（-x）≥2恒成立
∵f（x）是R上的奇函数，f（-x）=-f（x）
∴当x＜0时，-f（x）≥2恒成立．
即当x＜0时，恒有f（x）≤-2
∵f（-1）=-（1）=-2
∴在x＜0时有最大值为f（-1）=-2
故选B