Question

已知数列{a_n}的前n项和为，数列{b_n}满足条件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）直接根据数列的前n项和与通项之间的关系即可求出{an}的通项公式；再结合bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）以及等比数列的求和公式即可求出{bn}的通项公式；
（2）先根据上面的结论求出数列{anbn}的通项公式；再对其中的一部分利用错位相减求和，最后结合等差数列的求和公式求出另一部分即可得到结论．
【解析】
（1）因为数列{an}的前n项和为，
所以有：a1=S1=1，an=Sn-Sn-1=n（n≥2），
所以an=n．
而数列{bn}满足条件：b1=1，bn-bn-1=2n-1（n≥2）．
故bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=1+2+22+…+2n-1==2n-1；
（2）由（1）得：anbn=n2n-n．
令Un=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n…..①
所以：2Un=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n×2n+1   …②
①-②得-Un=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=（1-n）2n+1-2；
∴Un=（n-1）2n+1+2．
所以，Tn=Un=（n-1）2n+1+2．