Question

已知等差数列满足a₁=1，a₃=6，若对任意的n∈N^*，数列{b_n}满足b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
（1）求a_n，b_n
（2）设S_n=（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，n∈N*，证明：对任意的n∈N*，．

Answer

（1）设数列的公差d，依题意该数列的第一项为=1，第三项为，所以．由此能求出．由bn，2an+1，bn+1依次成等比数列，且b1=4．知bn•bn+1=4an+12，，n∈N*．由此能求出bn=（n+1）2．
（2）当n是偶数时，Sn=（-1）•b1+（-1）2•b2+…+（-1）nbn=-22+32-42+52-62+72-…-n2+（n+1）2=．所以．当n是奇数时，=，所以，综上所述，对任意的n∈N*，．
【解析】
（1）设数列的公差d，依题意该数列的第一项为=1，第三项为，
∴2=1+（3-1）d，．
∴，
∴，
∵bn，2an+1，bn+1依次成等比数列，且b1=4．
∴bn•bn+1=4an+12，
∴bn•bn+1=（n+2）2（n+1）2，
∴=1，n∈N*．
令，
则cncn+1=1，∴，且cn≠0．
∵=，
∴，
∴，
∴bn=（n+1）2．
（2）当n是偶数时，
Sn=（-1）•b1+（-1）2•b2+…+（-1）nbn
=-22+32-42+52-62+72-…-n2+（n+1）2
=5+9+13+…+（2n+1）
=．
∴==，
∴．
当n是奇数时，
Sn=（-1）•b1+（-1）2•b2+…+（-1）nbn
=-22+32-42+52-62+72-82+…+n2-（n+1）2
=5+9+13+…+（2n-1）-（n+1）2
=
∴=═，
∴．
综上所述，对任意的n∈N*，．