Question

已知定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）是奇函数，f（2-x）=f（x），f（1）=1，则f（2010）+f（2013）值为（ ）
A．-3
B．-2
C．2
D．1

Answer

由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，我们不难得到函数f（x）是一个周期函数，而且我们可以求出它的最小正周期T，根据周期函数的性质，我们易求出f（2010）+f（2013）的值．
【解析】
∵对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，
则f（-x）=f（2+x）；
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=f（x）；
即f（2+x）=-f（x）；则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
故f（2010）=f（2）=f（2-2）=f（0），f（2013）=f（1）；
又∵定义在R上的奇函数其图象必过原点
∴f（2010）=0，且f（1）=1
则f（2010）+f（2013）值为1
故选D