Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，AB=AC．
（1）证明：DE⊥平面BCC₁
（2）设B₁C与平面BCD所成的角的大小为30°，求二面角A-BD-C．

Answer

（1）取BC的中点F，判断三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，AF⊥面 BCC1 ，再证明ADEF为矩形，可证的DE⊥平面BCC1 ．
（2）设AB=AC=1，AD=x，作EH⊥DF，，∠ECH为B1C与平面BCD所成的角30°，sin30°==，求出x的值，作AM⊥BD，连CM，则∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，由tan∠AMC==，求得∠AMC 的大小．
【解析】
（1）证明：取BC的中点F，∵AB⊥AC，AB=AC，∴AF⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱．  AF⊥面 BCC1 ．∵D、E分别为AA1、B1C的中点，
∴DA∥EF，DA=EF，故ADEF为矩形，∴AF∥DE，故 DE⊥平面BCC1 ．
（2）设AB=AC=1，AD=x，由（1）可得 BC⊥AD，BC⊥AF，故BC⊥面ADEF，故 平面DBC⊥面ADEF．
作EH⊥DF，H为垂足，则 EH⊥平面DBC，∠ECH为B1C与平面BCD所成的角30°，
  EH===． 直角三角形CEH中，sin30°===，
∴x=．
由题意得CA⊥面ABD，作AM⊥BD，连CM，则∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，AM==，
tan∠AMC==，∴∠AMC=arctan，故二面角A-BD-C的大小为  arctan．