Question

在数列{a_n}中，a₁=1，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求a₂；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（n+1）²（n∈N），T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n，n∈N，求T_n．

Answer

（Ⅰ）因为数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．令n=1有，S2-4S1=0，再根据S1=a1，可求出S2，进而求出
a2．
  （Ⅱ）由 n≥2时，an=Sn-Sn-1，可求出数列{an}的递推公式，再利用累乘法，求出数列{an}的通项公式．
  先把（Ⅲ）bn=（n+1）2（n∈N）代入Tn，
   得，Tn=（-1）a1b1+（-1）a2b2+…+（-1）anbn=-22-32+…+（n+1）2，再按n=4k，n=4k-1，n=4k-2，
n=4k-3，分情况求出Tn，此题得解．
【解析】
（Ⅰ）S1=4，∴a2=3．
  （Ⅱ）∵nSn+1=（n+3）Sn…①∴当n≥2时，有（n-1）Sn=（n+2）Sn-1…②
①-②有nan+1=（n+2）an（n≥2），
∴2a3=4a2，3a4=5a3，…（n-1）an=（n+1）an+1（n≥3）
将以上各式左右两端分别相乘，得（n-1）an=a2，，∴an=，n≥3，
当n=1，2时也成立，∴an=（n∈N+）．
   （Ⅲ）∵bn=（n+1）2（n∈N），∴Tn=（-1）a1b1+（-1）a2b2+…+（-1）anbn=-22-32+…+（n+1）2，
当n=4k，k∈N+时，Tn=-22-32+42+52+…-（4k-2）2-（4k-1）2+（4k）2+（4k+1）2
∵-（4k-2）2-（4k-1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k-4
∴Tn=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）2+12k=n2+3n
当，k∈N+时，Tn=（4k）2+3×4k-（4k+1）2=4k-1=n
当，k∈N+时，Tn=（4k）2+3×4k-（4k+1）2-（4k）2=4k-1-（4k）2=-n2-3n-3

当n=4k-3，k∈N+时，，Tn=（4k）2+3×4k-（4k+1）2+（4k-1）2=-4k=-n-3
∴Tn=