Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（） n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=∑（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，设数列{b_n}的通项公式为b_n=n-，求b_n•T_n的最大值．

Answer

（1）将代入f（x）=，即可得到an+1-an=，利用等差数列通项公式得解
（2）利用分组求和法求出Tn，进而得到数列bn•Tn的通项公式，利用数列的函数性质，得到数列的单调性，即可得数列的最值
【解析】
（1）∵f（x）=，∴an+1=f（）==，即an+1-an=
∴数列{an}为等差数列，an=1+（n-1）=
（2）T2n=（-1）i+1aiai+1=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）=（a2+a4+…+a2n）
=•=，∴Tn=，
∴bn•Tn=（n3-3n2-54n）．
设g（x）=x3-3x2-54x （x＞0），∵g′（x）=3x2-6x-54．
由g′（x）＞0 得x＞1+，∴g（x）在（0，1+]上单调递减，在[1+，+∞）上单调递增
∴数列bn•Tn在（0，5]上单调递增，在[6，+∞）上单调递递减
∴b1T1＜b2T2＜…＜b5T5，b6T6＞b7T7＞b8T8＞…，又b5T5=，b6T6=，∴bn•Tn≤，
故 bn•Tn最大值为．