Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²+c²=a²-bc，
（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（Ⅱ）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．

Answer

（I）根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后把所求的式子利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，将sinA的值代入即可求出值；
（II）首先根据条件得出=（+）进而得出=（4-3bc），然后根据均值不等式得出bc≤1，即可求出结果．
【解析】
（I）∵b2+c2=a2-bc，∴a2=b2+c2+bc，
结合余弦定理知cosA===-，
又A∈（0，π），∴A=
∴B+C=
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin=；
（II）根据题意知=（+）
∴2=（2+2+2•）
∴=[c2+b2+2bc×（-）]=[（c+b）2-3bc]=（4-3bc）
∵≤=1
∴bc≤1（当且仅当b=c=1时等号成立）
∴（2）min=（4-3）=
∴||min=