Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=1，若数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n
（Ⅱ）若数列{b_n}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先根据数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，求出数列{Sn+1}的通项公式，再根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
以及a1=1，求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中所求数列{an}的通项公式代入bn=n•2n+（-1）n•λan，n∈N*，求出数列{bn}，再根据数列{bn}是递增数列，求λ的取值范围．
【解析】
（I）∵a1=1，且数列{Sn+1}是公比为2的等比数列．∴S1+1=2∴，
∴Sn+1=2×2n-1=2n，∴Sn=2n-1（n∈N*）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，又∵a1=1，∴an=2n-1（n∈N*）
（II）∵bn=n•2n+（-1）n•λan，n∈N*，∴bn=[2n+（-1）nλ]2n-1
∴bn+1=[2（n+1）+（-1）n+1λ]2n=2n-1[4n+4-2（-1）nλ]
∴bn+1-bn═2n-1[2n+4-3（-1）nλ]＞0
∴2n+4＞3（-1）nλ，
当n为奇数时，2n+4＞-3λ，∴6＞-3λ，∴λ＞-2；
当n为偶数时，2n+4＞3λ，∴8＞3λ，∴λ＜
综上所述，＞λ＞-2