Question

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．

Answer

（1）要求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，甲合格和乙不合格这两个事件是相互独立事件，根据相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式，得到结果．
（2）甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格，对于每一个人来说两次选拔是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，分别得到结果．
（3）甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格，包括三种情况，即只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，这三种情况是互斥的，三个人是否合格是相互独立的，根据概率公式得到结果．
【解析】
（1）第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，
分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1、B1；
这两个事件是相互独立事件，
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则=0.5×0.4=0.2．
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A、B、C，
则P（A）=0.5×0.6=0.3，
P（B）=0.6×0.5=0.3，
P（C）=0.4×0.5=0.2．
（3）设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，
则
=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2
=