Question

规定A_x^m=x（x-1）（x-2）•…•（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．
函数f（x）=aA_x+1³+3bA_x²+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）是否存在正整数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先利用定义求出f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1，再利用x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为求出a，b即可；
（2）先求导函数，利用导函数大于0的区间为原函数的增区间，以及导函数小于0的区间为原函数的减区间即可求f（x）的单调区间；
（3）先把方程等价于g（x）=18x3-36x2+19=0．在求出g（x）的导函数，判断出g（x）的图象变化规律，再利用零点存在性定理即可判断是否存在正整数m满足要求．
【解析】
（1）由已知f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1=ax3+3bx2-（a+3b）x+1，
∴f'（x）=3ax2+6bx-（a+3b）
∴
∴f（x）=6x3-12x2+6x+1．
（2）∵f'（x）=18x2-24x+6=6（3x-1）（x-1）
由f'（x）＞0得，x＞1或x＜，即f（x）在（1，+∞）和（-∞，）上单调递增，
由f'（x）＜0得，＜x＜1，即f（x）在（，1）上单调递减．
（3）方程等价于18x3-36x2+19=0．
令g（x）=18x3-36x2+19．
则g'（x）=54x2-72x=18x（3x-4）令g'（x）=0得x=0或x=．
当x∈（0，）时，g'（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
当x∈（，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
∵g（1）=1＞0，g（）=-＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在区间（1，），（，2）内分别有唯一实根．
∴存在正整数m=1使得方程在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数跟．