Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得 成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：①y=x³②y=4sinx③y=lgx④y=2^x，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（ ）
A．①②
B．③④
C．①③④
D．①③

Answer

由题意可得，均值为2，则即f（x1）+f（x2）=4，要满足已知的条件，则必需使所求的函数单调函数，也不能为周期函数，还得让函数满足值域为R，然后结合已知函数逐项排除．
【解析】
由题意可得，均值为2，则即f（x1）+f（x2）=4
①：y=x3在定义域R上单调递增，对应任意的x1，则存在唯一x2满足x13+x23=4①正确
②：y=4sinx，满足4sinx1+4sinx2=4，令，则根据三角函数的周期性可得，
满足sinx2=0的x2无穷多个，②错误
③y=lgx在（0，+∞）单调递增，对应任意的x1＞0，则满足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在③正确
④y=2x满足，令x1=3时x2不存在④错误
故选D．