Question

设向量，记，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求的值．

Answer

（1）先根据向量数量积的运算写出函数f（x）的解析式，对函数f（x）进行求导后代入到函数F（x）中化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，然后根据正弦函数的性质可得到答案．
（2）对f（x）=2f′（x）进行整理，可以得到x的正切值，然后对分子分母同时除以tan2x得到tanx的关系式，即可得到答案．
【解析】
（1）f（x）=sinx+cosx
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=
∴当（k∈Z）时，

最小正周期为
（2）∵f（x）=2f′（x）⇒sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx
∴．