Question

设集合X是实数集R的子集，如果点x∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x|＜a，称x为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①；  ②{x|x∈R，x≠0}；③；   ④整数集Z
以0为聚点的集合有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．①②④

Answer

由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
【解析】
①中，集合中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a
∴0是集合的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A