Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2，点F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）若点E在棱PD上，当为多少时二面角E-AC-D的大小为？

Answer

本题是考查证线线垂直，求线面角与二面的方法，由题设条件，可令BD与AC的交点为O，可证得P0垂直于底面ABCD，由菱形的性质，AC与BD互相垂直，本题的图象中出现了同一点出发的三条线段两两垂直，故可以建立空间坐标系用向量法求解，以O为坐标原点，OB方向为X轴，OC方向为Y轴，OP方向为Z轴建立空间坐标系，
（I）求出PC与BD两线对应的方向向量，利用内积为0证明线线垂直；
（II）求出直线BF的方向向量，与平面ABCD的法向量，利用公式求线面角；
（III）先设=t，用t表示出两个平面的法向量，由于两平面的夹角为，由此建立关于t的方程求出t的值，即可得到点E的位置．
【解析】
令AC与BD的交点为O，由于底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，可得AO=1，BO=
又PB=PD=2，在等腰三角形PBD中，由勾股定理可解得P0=
故有PA2+AO2=5=PO2，故有PO⊥AC，即有PO，AC，BD三线两两垂直，由此，可以O为坐标原点，，OB方向为X轴，OC方向为Y轴，OP方向为Z轴建立空间坐标系，故有A（0，-1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（-，0，0），P（0，0，）
（I）=（0，1，-），=（-2，0，0），因为=0，故有PC⊥BD；
（II）由前证易得P0⊥面ABCD，故即为平面ABCD的法向量，其坐标为（0，0，）
又F是PC的中点，故其坐标为（0，，），所以=（-，，）
设线面角为θ，故有sinθ=||==，故有θ=arcsin，即所求的线面角为arcsin
（III）连接OE，由于AC⊥面PBD，故可得∠EOD即是二面角E-AC-D的平面角，
设=t，由PE=tPD，可以得出，ED=（1-t）PD，作EM垂直OD于M，故点E到底面的距离是EM=（1-t），，OM=t
又二面角E-AC-D的大小为，可得tan===，即有t=（1-t），解得t==