Question

已知函数f（x）=ax-ln（2x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x时，求a值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象总是在直线的上方，求a的取值范围．

Answer

（I）根据导数的几何意义求出函数在x=0处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a；
（II）由（Ⅰ）得f'（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．
（III）函数f（x）的图象总是在直线的上方，即ax-ln（2x+1）＞在（-，+∞）上恒成立，
即a＜在（-，+∞）上恒成立．构造函数G（x）=，求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，即可得a的取值范围．
【解析】
（I）f′（x）=a-，
∴函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，
∴f′（0）=a-2=2，
∴a=4．
（II）由已知得函数f（x）的定义域为（-，+∞），且f′（x）=a-，
（1）当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得．f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表

x
f′（x） - +
f（x） 减 极小值 增

从上表可知
当时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减．
当时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（-，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在上单调递增．
（III）函数f（x）的图象总是在直线的上方，
即ax-ln（2x+1）＞在（-，+∞）上恒成立，
即a＜在（-，+∞）上恒成立．
设G（x）=，则G′（x）=，
令G′（x）＞0得x＞，G′（x）＜0得-＜x＜，G′（x）=0得x=，
∴G（x）在x=处取得最小值G（）=-．
∴a＜-．
∴a的取值范围：a＜-．