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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=...

manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中点,F是AD的中点.
(1)求异面直线PD一AE所成角的大小;
(2)求证:EF⊥平面PBC;
(3)求二面角F-PC-B的大小.
因为DA、DP、DC两两垂直,故可用向量法求解. (1)写出PD和AE的坐标,由夹角公式求出余弦值,再由异面直线所成角的范围求出角即可; (2)只要证明EF⊥PB、EF⊥PC即可,要证垂直,只要数量积为0. (3)求出平面PFC和平面PBC的法向量,由夹角公式求解即可. 【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0), D(0,0,0),P(0,0,2),E(1,1,1) ∴. ∴. 又∵, ∴ =. 故异面直线AE与DP所成角的大小为. (2). ∴=(-1)×2+0×2+(-1)×(-2)=0, ∴EF⊥PB. ∵=(-1)×2+0×0+(-1)×(-2)=0, ∴EF⊥PC. 又∵PB∩PC=P, ∴EF⊥平面PBC. (3)设平面PFC的法向量为m=(x,y,z). 则令z=1,则m=(1,2,1). 由(2)知平面PBC的法向量为. . 则二面角F-PC-B的大小为为.
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考点分析:
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