Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且对一切正整数n恒成立．
（1）证明数列{a_n+3}为等比数列；
（2）数列{a_n}是否存在三项构成等差数列？若存在，求出一组；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把所给的等式整理，想要求的结论靠近，因此需要把sn变为an，仿写一个等式，两式相减，得到只含an的等式，因为要证数列{an+3}为等比数列，所以凑成这个数列的相邻两项的比值形式．
（2）假设存在，写出三项，又知三项成等差数列，用等差中项验证，推出矛盾，得到结论不存在三项构成等差数列．
【解析】
（1）∵且对一切正整数n恒成立，
即2an=3n+Sn…①对一切正整数n恒成立．
∴2an+1=3（n+1）+sn+1…②
②-①得：2an+1-2an=3+sn+1-sn，
∴3an+1-2an=3
∴an+1+3=2（an+3）
又a1+3=6＞0，所以a2+3=2（a1+3）＞0，由此类推an+3＞0
所以=2
所以数列{an+3}是以a1+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
（2）【解析】
假设数列{an}中存在这样的三项满足其条件，且这三项分别为数列{an}的第x，y，z项．
由（1）知数列{an+3}是以a1+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+3=6×2n-1，
∴an=3×2n-3
又第x，y，z项构成等差数列，
∴2（3×2y-3）=3×2x-3+3×2z-3
∴2y+1=2x+2z
∴2y+1-x=1+2z-x
又x、y、z都是整数，
等式左边是偶数，右边是奇数，
∴这样的x、y、z是不存在的．
即数列{an}中不存在有三项，使它们可以构成等差数列．