Question

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在上恒成立，则实数a的取值范围为    ．

Answer

先利用偶函数的定义把f（ax+1）≤f（x-2）⇔f（|ax+1|）≤f（|x-2|），再利用其单调性转化为|ax+1|≤|x-2|；对其两边平方整理后利用分类讨论的方法分别求出实数a的取值范围最后综合即可．
【解析】
因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x-2）在上恒成立⇔f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x-2|在上恒成立⇒（a2-1）x2+2（a+2）x-3≤0  ②在上恒成立．
a=1时，②转化为2x-1≤0⇒x≤不符合，舍去；
a=-1时，②转化为2x-3≤0⇒x≤成立；
|a|＞1时，得a2-1＞0，②转化为，
⇒-2≤a≤0且a≠-1．
∵|a|≥1
综上得：实数a的取值范围为[-2，-1]．
故答案为[-2，-1]．