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如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD把△BCD折起到△BPD...

manfen5.com 满分网如图,在矩形ABCD中,AB=3manfen5.com 满分网,BC=3,沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置,且P在面ABC内的射影O恰好落在AB上
(1)求证:AP⊥BP;
(2)求AB与平面BPD所成的角的正弦值.
(1)由已知中,矩形ABCD沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置,且P在面ABC内的射影O恰好落在AB上,易得PO⊥面ABD,进而由面面垂直的性质得到AD⊥面ABP,则AD⊥BP,又由BP⊥PD,结合线面垂直的判定定理可得BP⊥面APD,进而由线面垂直的性质得到AP⊥BP; (2)作AH⊥PD于H,则AH⊥面BPD,连BH,则BH为AB在面BPD上的射影,我们易得∴∠ABH为AB与面BPD所成的角.解三角形ABH即可得到答案. 证明:(I)由题意知,PO⊥面ABD, ∵PO⊂ABP, ∴面ABP⊥面ABD, 又∵AD⊥AB,面ABP∩面ABD=AB, ∴AD⊥面ABP, ∴ ∵BP⊥PD ∴BP⊥面APD, ∴BP⊥AP, (II)∵BP⊥APD,BP⊂面BPD, ∴面APD⊥面BPD. ∴∠ABH为AB与面BPD所成的角. 又在Rt, ∴,∴ ∴, 即AB与平面BPD所成角的正弦值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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