Question

已知椭圆C：的长轴长是短轴长的倍，F₁，F₂是它的左，右焦点．
（1）若P∈C，且，|PF₁|•|PF₂|=4，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过动点Q作以F₂为圆心、以1为半径的圆的切线QM（M是切点），且使QF₁|=|QM|，，求动点Q的轨迹方程．

Answer

（1） 利用 和|PF1|2+|PF2|2=（2c）2，以及|PF1|+|PF2|=2a 求出a2和b2的值，解得椭圆C的方程．
（2）由条件可得|QF1|2=2|QM|2，再由QM是⊙F2的切线 可得|QM|2=|QF2|2-1，故有|QF1|2=2（|QF2|2-1）．
设Q（x，y），代入上式化简即得动点Q的轨迹方程．
【解析】
（1）依题意知①，
∵，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=4（a2-b2）=8b2，
又P∈C，由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，（|PF1|+|PF2|）2=8b2+8=4a2--②，
由①②得a2=6，b2=2．所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）得c=2．∴F1（-2，0）、F2（2，0）
由已知，即|QF1|2=2|QM|2，
∵QM是⊙F2的切线，∴|QM|2=|QF2|2-1，∴|QF1|2=2（|QF2|2-1）．
设Q（x，y），则（x+2）2+y2=2[（x-2）2+y2-1]，
即（x-6）2+y2=34（或x2+y2-12x+2=0），
综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：（x-6）2+y2=34．