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已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1)2,其中,a为实常数且a≠0. (...

已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1)2,其中,a为实常数且a≠0.
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网对任意x∈(-1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
(I)利用导数研究函数的单调区间.先求函数的导数,再看当x取什么值时,导数大于0,当x取什么值时,导数小于0,从而得到函数的单调区间. (II)因由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在(-1,+∞)单调增,而当x→0时,f(x)→-∞所以此时f(x)无最小值,不合题意,故只要考虑当a<0时的情形即可,欲使得恒成立,只须小于等于f(x)的最小值即可,由此得不等式解之即可. 【解析】 (Ⅰ)(2分) 因为f(x)的定义域为(-1,+∞),所以x+1>0 当a>0时,f′(x)>0,此时f(x)的单调增区间为(-1,+∞)(4分) 当a<0时,2(x+1)2>-a,即时f′(x)>0, 此时f(x)的单增区间为(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在(-1,+∞)单调增,而当x→0时,f(x)→-∞ 所以此时f(x)无最小值,不合题意(7分) 当a<0时,f(x)在上单调减,在上增, 所以恒成立,即(10分) ,得(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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