Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（3，0）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出双曲线的方程，则可表示出B，C，D坐标，根据BD=3DC求得a和c的关系，进而利用双曲线的定义以及三角形的周长建立方程组求得a，进而求得c和b，则双曲线的方程可得．
（2）在x轴上存在定点G使题设成立，设出直线l的方程，根据求得x1-t=λ（x2-t），把直线方程代入椭圆方程消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而求得t，则定点G的坐标可求．
【解析】
（1）【解析】
设双曲线E的方程为，
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a
∴
解之得a=1，∴
∴双曲线E的方程为．
（2）【解析】
设在x轴上存在定点G（t，0），使．
当l⊥x轴时，由，显然成立
当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-3），M（x1，y1），N（x2，y2）
由，即（3-x1，y1）=λ（x2-3，y2），即3-x1=λ（x2-3），即
∵，，
∴⇔x1-t=λ（x2-t），将代入得2x1x2-（3+t）（x1+x2）+6t=0①
将y=k（x-3）代入方程为整理得得：（3-k2）x2-6k2x-9k2-3=0
其中k2-3≠0且△＞0，即且
代入①，得：，化简得：．
因此，在x轴上存在定点，使．