Question

数列{a_n}的首项为，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：是等比数列；           
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）记S_n为{a_n}的前n项和，对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（1）由韦达定理，得，且（n≥2，且n∈N+）． 代入3α-αβ+3β=1，整理构造出数列再证是等比数列；  
（2）在（1）的基础上，先求数列的通项公式，再得出{an}的通项公式
（3）由（2）可求得Sn=a1+a2+…+an=，不等式2Sn-n-2λ≥0恒成立，只需λ≤
【解析】
（1）由α、β是方程an-1x2-anx+1=0的两根，得，
且（n≥2，且n∈N+）．又由3α-αβ+3β=1得3（α+β）-αβ=1，
∴，整理得3an-1=an-1（n≥2）．
∴（n≥2，且n∈N+）．
∴是等比数列，且公比．    
（2）∵，∴，则，
即．    …（7分）
（3）∵Sn=a1+a2+…+an=
==，
∴．又显然数列{}是递增数列，
∴要使对一切n∈N+，不等式2Sn-n-2λ≥0恒成立，
只需λ≤=，
∴λ的取值范围是．