Question

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A、B两点，P在圆O上运动（不与A、B重合），过P作直线l₁，OS垂直于l₁交直线l₂：x=-3于点S．
（1）求证：“如果直线l₁过点T（-1，0），那么”为真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），则x2+y2=2，当x=-1时，求出S的坐标，化简•的解析式．当x≠-1时，求出S的坐标，
化简•的解析式．
（2）先写出逆命题，设S（-3，t），P（x，y）（y≠0），由•=1，及x2+y2=2，得出．
当当x=-1时，直线l1的方程知过点（-1，0）；当x≠-1时，由直线l1的方程知过点（-1，0）．
证明：（1）设P（x，y）（y≠0），则x2+y2=2．当x=-1时，
∵直线l1过点T（-1，0），∴S（-3，0），即，
∴2=1．
当x≠-1时，∵直线l1过点T（-1，0），∴直线l1的斜率k1=，
∴直线OS的斜率k=-，其方程为 y=-x，
∴，即．
∴=-3x-x2+3x+3-y2=3-2=1．
故“如果直线l1过点T（-1，0），那么=1”为真命题．

（2）逆命题为：如果=1，那么直线l1过点T（-1，0）．逆命题也为真命题，以下给出证明：
设S（-3，t），P（x，y）（y≠0），则，
∵=1，∴-3x-x2+ty-y2=1，又x2+y2=2，
∴t=．当x=-1时，直线l1的方程为x=-1，显然过点（-1，0）；
当x≠-1时，直线OS的斜率k=，∴直线l1的方程为y-y=，令y=0，得x=-1，
∴直线l1过定点（-1，0）．综上，直线l1恒过定点（-1，0）．